设函数f（x）=xsinx（x∈R），（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明；（Ⅲ）设f（x）在(0，+∞)内的全部极值点按从小到

题目简介

设函数f（x）=xsinx（x∈R），
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中k为整数；
（Ⅱ）设x₀为f（x）的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设f（x）在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，证明。

题型：解答题难度：偏难来源：天津高考真题

（Ⅰ）证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k，有；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，， ① 令f′（x）=0，得sinx+xcosx=0，显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=-tanx，如图所示，此方程一定有解， f（x）的极值点x0一定满足，由，因此，；
（Ⅲ）证明：设x0＞0是f′（x）=0的任意正实根，即，则存在一个非负整数k，使，即x0在第二或第四象限内，由①式，在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：所以满足的正根x0都为f（x）的极值点，由题设条件，为方程x=-tanx的全部正实根且满足，那么对于n=1，2，…，， ② 由于，则，由于，由②式知，由此可知必在第二象限，即；综上，。