设函数f(x)=ax2+bx+clnx,(其中a,b,c为实常数且a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-3,(Ⅰ)若函数f(x)无极值点且f′(x)存在零点,求a,b,

题目简介

设函数f(x)=ax2+bx+clnx,(其中a,b,c为实常数且a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-3,(Ⅰ)若函数f(x)无极值点且f′(x)存在零点,求a,b,

题目详情

设函数f(x)=ax2+bx+clnx,(其中a,b,c为实常数且a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-3,
(Ⅰ)若函数f(x)无极值点且f′(x)存在零点,求a,b,c的值;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点,证明f(x)的极小值小于
题型:解答题难度:偏难来源:浙江省模拟题

答案

解:(Ⅰ)
由题得,即
此时

由f(x)无极值点且f′(x)存在零点,

解得
于是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
要使函数f(x)有两个极值点,
只要方程有两个不等正根,
那么实数a应满足 ,解得
设两正根为,且
可知当时有极小值
其中这里
由于对称轴为,所以
,得

恒成立,
,故对恒有,即
所以有

对于恒成立,
上单调递增,

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