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> 设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-
设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-
题目简介
设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-
题目详情
设函数f(x)=
x
4
+bx
2
+cx+d,当x=t
1
时,f(x)有极小值,
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t
2
∈(t
1
,t
1
+1),使f′(t
2
)=0,证明:函数g(x)=f(x)-
x
2
+t
1
x在区间(t
1
,t
2
)内最多有一个零点.
题型:解答题
难度:偏难
来源:模拟题
答案
解:(1)因为
,
所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c,
由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根,
考察函数
,则由h′(x)=0,得x=±2,
,
所以
故-16<c<16.
(2)存在c∈(-16,16),使f′(x)≥0,即
,
所以
,即
在区间[m-2,m+2]上恒成立,
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,
所以
或m-2>2,即-2<m<0,或m>4。
(3)由题设,可得存在α,β∈R,使
,
且
恒成立,
又f′(t2)=0,且在x=t2两侧同号,所以
,
另一方面,
,
因为
,且
,
所以
,
所以
,
所以
,
而x-t1>0,所以g′(x)<0,
所以g(x)在(t1,t2)内单调递减;
从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点.
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函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有
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设a>0,求函数的单调区间,并且如
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