设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f'（x），若函数y=f'（x）的图像关于直线x=对称，且函数y=f'（x）有最小值。（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）
设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f '（x），若函数y=f '（x）的图像关于直线x=对称，且函数y=f '（x）有最小值。（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）已知函数g（x）=x2-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，求实数的m取值范围。
解：（Ⅰ）∵f '（x）=3x2+4ax+b=∴，解得a=-2，b=5∴f （x）=3x3-4x2+5x-2（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）=3x3-4x2+5x-2∴f（x）+g（x）=x3-3x2-9x+m-2令h（x）=f（x）+g（x），则h'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）∴函数h（x）在（-∞，1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增。∴h（x）极大值=h（-1）=3+m，h（x）极小值=h（3）=m-29∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根 ∴ 或解得m<-3或m>29∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（29，+∞）
题目简介
设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f'（x），若函数y=f'（x）的图像关于直线x=对称，且函数y=f'（x）有最小值。（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）
题目详情
设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f '（x），若函数y=f '（x）的图像关于直线x=![]()
对称，且函数y=f '（x）有最小值![]()
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（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=x2-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，求实数的m取值范围。
答案
解：（Ⅰ）∵f '（x）=3x2+4ax+b=![]()
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，![]()
解得a=-2，b=5![]()
或![]()
解得m<-3或m>29
∴
∴f （x）=3x3-4x2+5x-2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）=3x3-4x2+5x-2
∴f（x）+g（x）=x3-3x2-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），则h'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函数h（x）在（-∞，1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增。
∴h（x）极大值=h（-1）=3+m，h（x）极小值=h（3）=m-29
∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根
∴
∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（29，+∞）