已知函数f(x)=x3+ax2+x+2.(Ⅰ)若a=-1,令函数g(x)=2x﹣f(x),求函数g(x)在(-1,2)上的极大值、极小值;(Ⅱ)若函数f(x)在上恒为单调递增函数,求实数a的取值范围.

题目简介

已知函数f(x)=x3+ax2+x+2.(Ⅰ)若a=-1,令函数g(x)=2x﹣f(x),求函数g(x)在(-1,2)上的极大值、极小值;(Ⅱ)若函数f(x)在上恒为单调递增函数,求实数a的取值范围.

题目详情

已知函数f(x)=x3+ax2+x+2.
(Ⅰ)若a=-1,令函数g(x)=2x﹣f(x),求函数g(x)在(-1,2)上的极大值、极小值;
(Ⅱ)若函数f(x)在上恒为单调递增函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:偏难来源:山东省模拟题

答案

解:(Ⅰ)g(x)=2x﹣(x3﹣x2+x+2)=﹣x3+x2+x﹣2,
所以g'(x)=﹣3x2+2x+1
由g'(x)=0得或x=1
所以函数g(x)在处取得极小值;在x=1处取得极大值﹣
(Ⅱ)因为f'(x)=3x2+2ax+1的对称轴为
(1)若即a≤1时,要使函数f(x)在上恒为单调递增函数,
则有△=4a2﹣12≤0,
解得:
所以
(2)若
即a>1时,要使函数f(x)在上恒为单调递增函数,
则有
解得:a≤2,所以1<a≤2;
综上,实数a的取值范围为

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