已知函数.当x=2时,函数f(x)取得极值.(I)求实数a的值;(II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数.当x=2时,函数f(x)取得极值.(I)求实数a的值;(II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数.当x=2时,函数f(x)取得极值.
(I)求实数a的值;
(II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:山东省月考题

答案

解:(I)由 ,则 f'(x)=x2+2ax+6
因在x=2时,f(x)取到极值
所以f'(2)=04+4a+6=0 解得, 
(II)由(I)得  且1≤x≤3
则f'(x)=x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)
由f'(x)=0,解得x=2或x=3;
f'(x)>0,解得x>3或x<2;
f'(x)<0,解得2<x<3
∴f(x)的递增区间为:(﹣∞,2)和(3,+∞); f(x)递减区间为:(2,3)
又 
要f(x)+m=0有两个根,则f(x)=﹣m有两解,
分别画出函数y=f(x)与y=﹣m的图象,
如图所示.由图知,实数m的取值范围: . 

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