已知函数f(x)=(x2﹣a)ex.(1)若a=3,求f(x)的单调区间和极值;(2)若x1,x2为f(x)的两个不同的极值点,且,若恒成立,求实数b的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=(x2﹣a)ex.(1)若a=3,求f(x)的单调区间和极值;(2)若x1,x2为f(x)的两个不同的极值点,且,若恒成立,求实数b的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=(x2﹣a)ex
(1)若a=3,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若x1,x2为f(x)的两个不同的极值点,且
恒成立,求实数b的取值范围.

题型:解答题难度:中档来源:吉林省模拟题

答案

解(1)∵a=3,∴f(x)=(x2﹣3)ex,
f'(x)=(x2+2x﹣3)ex=0
∴x=﹣3或x=1
令f'(x)>0,解得x∈(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
令f'(x)<0,解得x∈(﹣3,1),
∴f(x)的递增区间为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞);
递减区间为(﹣3,1)
当x=﹣3时,函数有极大值为6e﹣3,当x=1时函数有极小值为﹣2e;
(2)由(x)=(x2+2x﹣a)ex=0可得x2+2x﹣a=0
由题意两根为x1,x2,
∴x1+x2=﹣2,x1x2=﹣a,
又∵
∴||≥4||
∴|x1+x2|≥4|x1x2|
∴﹣≤a≤且△=4+4a>0,
∴﹣≤a≤
设g(a)=3f(a)﹣+3a=3(a2﹣a)ea﹣+3a
∴g'(a)=3(a2+a﹣1)(ea﹣1)=0a=或a=0
又∵﹣≤a≤函数在[﹣,0)上单调递增,在[0,]上单调递减
∴g(a)max=g(0)=0
∴b>0

更多内容推荐