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已知函数f（x）=ex﹣bx（1）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；（3）当b＞0时，讨论函数|f（x）|在区间（0，2）上是否存在极大值

题目简介

已知函数f（x）=ex﹣bx（1）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；（3）当b＞0时，讨论函数|f（x）|在区间（0，2）上是否存在极大值

题目详情

已知函数f（x）=e^x﹣bx
（1）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）当b＞0时，讨论函数|f（x）|在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．

题型：解答题难度：偏难来源：江苏省期末题

答案

解：（I）当b=1时f（x）=ex﹣x，
∴f'（x）=ex﹣1，
令f'（x）=0，得x=0，
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
（2）转化为y=ex与y=bx的图象只有一个交点
当b＜0时，作出图象，发现满足要求；
当b≥0时，作出图象，
发现当且仅当y=ex与y=bx相切时有一个交点
设切点为（x，y），则，解得
所以，b＜0或b=e
（3）f（x）=ex﹣bx，f'（x）=ex﹣b，令f'（x）=ex﹣b=0，则x=lnb
当x∈（﹣∞，lnb）时，f'（x）=ex﹣b＜0，所以f（x）递减；
当x∈（lnb，+∞）时，f'（x）=ex﹣b＞0，所以f（x）递增；
所以，f（x）的最小值为f（lnb）=b﹣blnb=b（1﹣lnb）
当0＜b≤e时，f（lnb）=b（1﹣lnb）≥0，所以f（x）=ex﹣bx≥0
∴|f（x）|=f（x）=ex﹣bx，
此时，|f（x）|在（﹣∞，+∞）上无极大值，所以在（0，2）上无极大值
当b＞e时，f（lnb）=b（1﹣lnb）＜0，
∴ ，可得：
若b≥e2，则lnb≥2，此时|f（x）|在（0，2）上无极大值；
若b＜e2，则lnb＜2，此时|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb﹣1）
综上得：当0＜b≤e或b≥e2时，|f（x）|在（0，2）上无极大值；
当e＜b＜e2时，|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb﹣1）

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