已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c(2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d为整数时,求过P点和y

题目简介

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c(2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d为整数时,求过P点和y

题目详情

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.
(1)求b和c        
(2)求函数y=f(x)的解析式;
(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.
题型:解答题难度:偏难来源:河南省期末题

答案

解:(1)由题意可得:函数f(x)=x3+bx2+cx+d的导数为:f'(x)=3x2+2bx+c,
因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2,
所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0,
解得:b=﹣,c=6.
(2)设切点为(x0,y0),
由(1)可得:f'(x)=3x2﹣9x+6,
因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点,
所以f'(x0)=6,即x0=3或者x0=0,
当x0=3时,y0=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+
当x0=0时,y0=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+1.
(3)由题意可得:f(x)=x3x2+6x+1,并且P(0,1),
设切点的坐标为(x1,y1),所以==…①.
又因为f'(x)=3x2﹣9x+6,所以K切=3x12﹣9x1+6…②,
由①②可得:
所以切点为(),所以
所以切线方程为15x﹣16y+16=0.
所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为15x﹣16y+16=0.

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