设函数f（x）=aex+1aex+b（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=32x，求a，b的值．-数学

题目简介

设函数f（x）=ae^x+

aex

+b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=

x，求a，b的值．

题型：解答题难度：中档来源：安徽

（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则y=at+class="stub"1

+b
∴y′=

a2t2-1

at2

①当a≥1时，y′＞0，∴y=at+class="stub"1

+b在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为y=a+class="stub"1

+b
②当0＜a＜1时，y=at+class="stub"1

+b≥2+b，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）f′(x)=aex-class="stub"1

aex

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=class="stub"3

x，
∴

f(2)=3

f′(2)=class="stub"3

，即

ae2-class="stub"1

ae2

=class="stub"3

ae2+class="stub"1

ae2

+b=3

，解得

a=class="stub"2

b=class="stub"1

．