设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)确定b，c的值；(2)设曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(

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设函数f(x)＝x³－x²＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)确定b，c的值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(x₁，f(x₁))及(x₂，f(x₂))处的切线都过点(0,2)．
证明：当x₁≠x₂时，f ′(x₁)≠f ′(x₂)；
(3)若过点(0,2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．

题型：解答题难度：偏难来源：湖北省期中题

答案

解：(1)由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f ′(x)＝x2－ax＋b，f ′(0)＝b，
又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
(2)f(x)＝x3－x2＋1，f ′(x)＝x2－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f ′(t)(x－t)，
而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f ′(t)(－t)，化简得t3－t2＋1＝0，
即t满足的方程为t3－t2＋1＝0，
下面用反证法证明：假设f ′(x1)＝f ′(x2)，
由于曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：

由③得x1＋x2＝a，由①－②得x12＋x1x2＋x22＝a2④
又x12＋x1●x2＋x22＝(x1＋x2)2－x1x2＝a2－x1(a－x2)＝x12－ax1＋a2＝(x1－)2＋a2≥a2
故由④得，x1＝，此时x2＝与x1≠x2矛盾，所以f ′(x1)≠f ′(x2)．
(3)由(2)知，过点(0,2)可作y＝f(x)的三条切线，等价于方程2－f(t)＝f ′(t)(0－t)有三个相异的实根，即等价于方程t3－t2＋1＝0有三个相异的实根．
设g(t)＝t3－t2＋1，则g′(t)＝2t2－at＝2t(t－)
由于a>0，故有

由g(t)的单调性可知：要使g(t)＝0有三个相异的实根，当且仅当1－<0，即a>，
∴a的取值范围是(，＋∞)

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设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a&gt;0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)确定b，c的值；(2)设曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(

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