已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-23＞a2恒成立，求a的取值范围．-数学

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已知函数f(x)=

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-

＞a2恒成立，求a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：揭阳一模

答案

（1）求导函数，可得f'（x）=x2-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴b=class="stub"3

，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（x）min=f（2）=a+class="stub"2

，------------------（10分）
x∈[1，+∞）时，f(x)-class="stub"2

＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min-class="stub"2

，x∈[1，+∞)-----------（12分）
即a2-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）

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已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-23＞a2恒成立，求a的取值范围．-数学

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