设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无

题目简介

设定函数f(x)=

x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：北京

由得f′（x）=ax2+2bx+c
因为f′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以

a+2b+c-9=0

16a+8b+c-36=0

（*）
（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得

2b+c-6=0

8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0
故f（x）=x3-3x2+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=class="stub"a

x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）2-4ac=9（a-1）（a-9）
解

a＞0

△=9(a-1)(a-9)≤0

得a∈[1，9]
即a的取值范围[1，9]