已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax2，（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x

题目简介

已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax²，
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；
（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）若a=1时，f（x）=ln（1+2x）-2x+x2，∴f′(x)=

2x(2x-1)

1+2x

（x＞-class="stub"1

）．
当x∈(-class="stub"1

，0)∪(class="stub"1

，+∞)，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为(-class="stub"1

，0)和(class="stub"1

，+∞)；
当x∈(0，class="stub"1

)，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间为(0，class="stub"1

)；
（2）f′(x)=2•

2ax2-(2-a)x

1+2x

（x＞-class="stub"1

）．
由函数f（x）存在两个极值点，可知a≠2
∵两个极值点都小于1，结合函数的定义域有-class="stub"1

＜class="stub"1

-class="stub"1

＜1，解得a＞class="stub"2

综上，a＞class="stub"2

且a≠2；
（3）令t=2x，则原不等式等价于ln(1+t)-t≤-class="stub"1

at2
t=0，满足题设；
t≠0，有

ln(1+t)-t

≤-class="stub"a

∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴

ln(1+t)-t

＜0
∴0≤-class="stub"a

∴a≤0．