已知x=1为奇函数f（x）=13ax3+bx2+（a2-6）x的极大值点，（1）求f（x）的解析式；（2）若P（m，n）在曲线y=f（x）上，证明：过点P作该曲线的切线至多存在两条．-数学

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已知x=1为奇函数f（x）=

ax³+bx²+（a²-6）x的极大值点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若P（m，n）在曲线y=f（x）上，证明：过点P作该曲线的切线至多存在两条．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知f（x）为奇函数，故b=0，
所以f（x）=class="stub"1

ax3+（a2-6）x，f′（x）=ax2+a2-6，
由极值的条件可得f′（1）=a+a2-6=0，
解得a=-3或a=2，
当a=2时，x=1为f（x）的极小值点，与已知矛盾，舍去．
故f（x）=-x3+3x；
（2）由（1）知n=-m3+3m，设切点为（x0，-x03+3x0），
则切线方程为y-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（x-x0）．
P点在切线上，有-m3+3m-（-x03+3x0）=（-3x02+3）（m-x0），
即-(m3-x03)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，
分解因式可得-(m-x0)(m2+mx0+x02)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0)，
即（x0-m）（2x02-mx0-m2）=0，即(x0-m)2(x0-class="stub"-m

)=0，
当m=0时，x0=0，此时原曲线仅有一条切线；
当m≠0时，x0=m，或x0=-class="stub"m

，此时原曲线有两条切线．
故过点P作该曲线的切线至多存在两条．

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已知x=1为奇函数f（x）=13ax3+bx2+（a2-6）x的极大值点，（1）求f（x）的解析式；（2）若P（m，n）在曲线y=f（x）上，证明：过点P作该曲线的切线至多存在两条．-数学

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