首页 > 设f（x）=x+ax，g（x）=x3-x2-3（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；（3）如果在[12，2]上任取s，t，都

设f（x）=x+ax，g（x）=x3-x2-3（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；（3）如果在[12，2]上任取s，t，都

题目简介

设f（x）=x+ax，g（x）=x3-x2-3（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；（3）如果在[12，2]上任取s，t，都

题目详情

设f（x）=x+
a
x
，g（x）=x3-x2-3
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；
（3）如果在[
1
2
，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当a=2时，f（x）=x+class="stub"2
x
，
所以f′（x）=1-2x-2，因此f′（1）=-1．
即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-1．…（4分）
又f（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=-（x-1），
即x+y-4=0．…（6分）
（2）因为g（x）=x3-x2-3，所以g′（x）=3x2-2x．
令f'（x）=0，得x=0或x=class="stub"2
3
． …（8分）
①若0＜x＜class="stub"2
3
，则g'（x）＜0，g（x）在区间（0，class="stub"2
3
）上单调递减，
②若class="stub"2
3
＜x＜2，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（class="stub"2
3
，2）上单调递增，
所以当x=class="stub"2
3
时，函数g（x）取得最小值-class="stub"85
27
，当x=2时，函数g（x）取得最大值为1．…（13分）
（3）由（2）知，函数g（x）在[class="stub"1
2
，2]上的最大值g（x）max=g（2）=1．
∵在[class="stub"1
2
，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，
∴只需当x∈[class="stub"1
2
，2]时，f（x）min≥g（2）=1恒成立即可，
当a≤0时，函数f（x）在[class="stub"1
2
，2]上的最小值class="stub"1
2
+2a≥1不可能；
当a＞0时，∵f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
2
+2a≥1，∴a≥class="stub"1
4
．
当class="stub"1
4
≤a≤4时，函数f（x）在[class="stub"1
2
，2]上的最小值f（
a
）=2
a
≥1满足题意；
当a＞4时，函数f（x）在[class="stub"1
2
，2]上的最小值f（2）=2+class="stub"a
2
≥1满足题意；
故当a≥class="stub"1
4
时，在[class="stub"1
2
，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立．

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