首页 > 已知f(x)=ax-1x，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的

已知f(x)=ax-1x，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的

题目简介

已知f(x)=ax-1x，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的

题目详情

已知f(x)=ax-
1
x
，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．
题型：解答题难度：中档来源：江门一模

答案

（1）g（1）=0，所以P的坐标为（1，0），
g′(x)=class="stub"1
x
，则切线的斜率k=g′（1）=1，
所以直线l的方程为y-0=1（x-1），化简得y=x-1；
（2）由f(x)=ax-class="stub"1
x
，得f′（x）=a+class="stub"1
x2
，
设y=f（x）在x=x0处的切线为l，
则有
ax0-class="stub"1
x0
=x0-1
a+class="stub"1
x02
=1
，解得
x0=2
a=class="stub"3
4
，
即当a=class="stub"3
4
时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线；
（3）F′(x)=a+class="stub"1
x2
-class="stub"1
x
=a+(class="stub"1
x
-class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
．
当a≥class="stub"1
4
，a-class="stub"1
4
≥0时，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当a=0时，F′(x)=class="stub"1
x2
-class="stub"1
x
=class="stub"1-x
x2
，F（x）在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜class="stub"1
4
时，解F′（x）=0得x1=
1-
1-4a
2a
，x2=
1+
1-4a
2a
，
F（x）在（0，x1]和（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2]单调递减；
当a＜0时，解F′（x）=0得x1=
1-
1-4a
2a
＞0，x2=
1+
1-4a
2a
＜0（x2舍去），
F（x）在（0，x1]单调递增，在（x1，+∞）单调递减．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网