首页 > 设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切①求实数a，b的值；②求函数f(x)在[1e，e]上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对

设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切①求实数a，b的值；②求函数f(x)在[1e，e]上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对

题目简介

设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切①求实数a，b的值；②求函数f(x)在[1e，e]上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对

题目详情

设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-
1
2
相切
①求实数a，b的值；
②求函数f(x)在[
1
e
，e]上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，
3
2
]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：河南模拟

答案

（1）①f′(x)=class="stub"a
x
-2bx
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-class="stub"1
2
相切∴
f′(1)=a-2b=0
f(1)=-b=-class="stub"1
2
，
解得
a=1
b=class="stub"1
2
（3分）
②f(x)=lnx-class="stub"1
2
x2，f′(x)=class="stub"1
x
-x=
1-x2
x

当class="stub"1
e
≤x≤e时，令f'（x）＞0得class="stub"1
e
≤x＜1；
令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴f(x)在[class="stub"1
e
，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=-class="stub"1
2
（7分）（8分）
（2）当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，class="stub"3
2
]，x∈(1，e2]都成立，
则alnx≥m+x对所有的a∈[0，class="stub"3
2
]，x∈(1，e2]都成立，
即m≤alnx-x，对所有的a∈[0，class="stub"3
2
]，x∈(1，e2]都成立，（8分）
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h(a)在a∈[0，class="stub"3
2
]上单调递增
∴h（a）min=h（0）=-x，∴m≤-x对所有的x∈（1，e2]都成立，
∵1＜x≤e2，
∴-e2≤-x＜-1，∴m≤（-x）min=-e2．（13分）

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