首页 > 设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数G(a)=F(a)a的最小值；（3）设函数g（x）=lnx-2x2

设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数G(a)=F(a)a的最小值；（3）设函数g（x）=lnx-2x2

题目简介

设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数G(a)=F(a)a的最小值；（3）设函数g（x）=lnx-2x2

题目详情

设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数G(a)=
F(a)
a
的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
题型：解答题难度：中档来源：镇江一模

答案

（1）f′（x）=（x-1）2+2x（x-1）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x=class="stub"1
3
或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表
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∴当x=class="stub"1
3
时，有极大值f（class="stub"1
3
）=class="stub"4
27
，当x=1时，有极小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，class="stub"1
3
]，[1，+∞）上是增函数，在[class="stub"1
3
，1]上是减函数，
①0＜a≤class="stub"1
3
时，F（a）=a（a-1）2，G（a）=（a-1）2≥class="stub"4
9

特别的，当a=class="stub"1
3
时，有G（a）=class="stub"4
9
，
②当class="stub"1
3
＜a≤1时，F（a）=f（class="stub"1
3
）=class="stub"4
27
，G（a）=
class="stub"4
27
a
≥class="stub"4
27

特别的，当a=1时，有G（a）=class="stub"4
27
，
由①②知，当0＜a≤1时，函数G(a)=
F(a)
a
的最小值为class="stub"4
27
．
（3）由已知得h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′1(x)=
(4x+1)(x-1)
x
，
∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0
∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，
∴当h1（1）=m-t-1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同样，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′2（x）=3x（x-class="stub"4
3
），
∴x∈（0，class="stub"4
3
）时，h′2（x）＜0，x∈（class="stub"4
3
，+∞），h′2（x）＞0，
∴x=class="stub"4
3
时，h2（x）取极小值，也是最小值，
∴h2(class="stub"4
3
)=-class="stub"32
27
-m≥0，m≤-class="stub"32
27
时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-class="stub"32
27
，
∵实数m有且只有一个，∴m=-class="stub"32
27
，t=-class="stub"59
27
．

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