首页 > 已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）

已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）

题目简介

已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（3）

题目详情

已知函数f(x)=
a
3
x3-
1
2
(a+1)x2+x-
1
3
．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f′（x）=ax2-（a+1）x+1（a∈R），…（1分）
由f′（2）=9，得a=5．，…（2分）
∴f(x)=class="stub"5
3
x3-3x2+x-class="stub"1
3

∴f（2）=3，
∴（2，3）在直线9x-y+b=0上，
∴b=-15．          …（4分）
（2）①若a=0，f(x)=-class="stub"1
2
x2+x-class="stub"1
3
=-class="stub"1
2
(x-1)2+class="stub"1
6
，
∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．                     …（6分）
②若a＜0，则f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-class="stub"1
a
)(x-1)，x∈R，
令f′（x）＜0，得(x-class="stub"1
a
)(x-1)＞0．∴x＜class="stub"1
a
，或x＞1．    …（9分）
∴f（x）的单调减区间为(-∞，class="stub"1
a
)，（1，+∞）．             …（10分）
（3）f′(x)=a(x-1)(x-class="stub"1
a
)，0＜a＜1，
列表：
x（-∞，1）1（1，class="stub"1
a
）		class="stub"1
a
（class="stub"1
a
，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗
…（12分）
∴f（x） 的极小值为f(class="stub"1
a
)=class="stub"a
3
•class="stub"1
a3
-class="stub"1
2
(a+1)class="stub"1
a2
+class="stub"1
a
-class="stub"1
3

=-class="stub"1
6
•class="stub"1
a2
+class="stub"1
2
•class="stub"1
a
-class="stub"1
3
=-class="stub"1
6
(class="stub"1
a
-class="stub"3
2
)2+class="stub"1
24
．                 …（14分）
当a=class="stub"2
3
时，函数f（x）的极小值f（class="stub"1
a
）取得最大值为class="stub"1
24
．   …（16分）

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