首页 > 已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方程；（Ⅱ）若a=f′(π2)，求f(π4)的值．-数学

已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方程；（Ⅱ）若a=f′(π2)，求f(π4)的值．-数学

题目简介

已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方程；（Ⅱ）若a=f′(π2)，求f(π4)的值．-数学

题目详情

已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；
（Ⅰ）若a=1，求过点(
π
2
，1)的切线方程；
（Ⅱ）若a=f′(
π
2
)，求f(
π
4
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=sinx+cosx，
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴f′(x)|x=class="stub"π
2
=(cosx-sinx)|x=class="stub"π
2
=cosclass="stub"π
2
-sinclass="stub"π
2
=-1，
∴过点(class="stub"π
2
，1)的切线方程为y-1=-（x-class="stub"π
2
），
整理，得x+y-1-class="stub"π
2
=0．
（Ⅱ）∵f（x）=asinx+cosx，
∴f′（x）=acosx-sinx，
∴f′(class="stub"π
2
)=acosclass="stub"π
2
-sinclass="stub"π
2
=-1，
∵a=f′(class="stub"π
2
)=-1，
∴f（x）=-sinx+cosx，
∴f(class="stub"π
4
)=-sinclass="stub"π
4
+cosclass="stub"π
4
=-
2
2
+
2
2
=0．

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