首页 > 已知实数a满足1＜a≤2，设函数f（x）=13x3-a+12x2+ax．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f（x）的极小

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f（x）=13x3-a+12x2+ax．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f（x）的极小

题目简介

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f（x）=13x3-a+12x2+ax．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f（x）的极小

题目详情

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f （x）=
1
3
x3-
a+1
2
x2+ax．
（Ⅰ） 当a=2时，求f （x）的极小值；
（Ⅱ） 若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x （b∈R） 的极小值点与f （x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：
x（-∞，1）1（1，2）2（2，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增
所以，f（x）的极小值为f（2）=class="stub"2
3
．
（Ⅱ）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，
所以f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a、
而g′（x）=12x2+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），
所以a=-class="stub"b+2
2
，
即b=-2（a+1）．
又因为1＜a≤2，
所以g（x）极大值=g（1）
=4+3b-6（b+2）
=-3b-8
=6a-2≤10．
故g（x）的极大值小于等于10．

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