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已知函数f（x）=x3-ax2，其中a为实常数．（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x

题目简介

已知函数f（x）=x3-ax2，其中a为实常数．（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x

题目详情

已知函数f（x）=x3-ax2，其中a为实常数．
（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）+a（x2-3x）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∴k=f'（x）=3x2-2ax，x∈（0，1）．
由k≥-1，得3x2-2ax+1≥0，即a≤
3x2+1
2x
=class="stub"1
2
(3x+class="stub"1
x
)恒成立
∴a≤class="stub"1
2
（3x+class="stub"1
x
）min
∵当x∈（0，1）时，3x+class="stub"1
x
≥2
3x•class="stub"1
x
=2
3
，当且仅当x
3
3 
时取等号．
∴（3x+class="stub"1
x
）min=
3
．故a的取值范围是（-∞，
3
]．
（2）设g（x）=f（x）+a（x2-3x）=x3-3ax，x∈[-1，1]则
g′（x）=3x2-3a=3（x2-a）．
①当a≥1时，∴g′（x）≤0．从而g（x）在[-1，1]上是减函数．
∴g（x）的最大值为g（-1）=3a-1．
②当0＜a＜1时，g′（x）=3（x+
a
）（x-
a
）．
由g′（x）＞0得，x＞
a
或x＜-
a
：由g′（x）＜0得，-
a
＜x＜
a
．
∴g（x）在[-1，-
a
]，[
a
，1]上增函数，在[-
a
，
a
]上减函数．
∴g（x）的极大值为g（-
a
）=2a
a
．
由g（-
a
）-g（1）=2a
a
+3a-1=（
a
+1）2•（2
a
-1）知
当2
a
-1＜0，即0≤a＜class="stub"1
4
时，g（-
a
）＜g（1）
∴g（x）max=g（1）=1-3a．
当2
a
-1≥0，即class="stub"1
4
＜a＜1时，g（-
a
）≥g（1）
∴g（x）max=g（-
a
）=2a
a
．
③当a≤0时，g′（x）≥0，从而g（x）在[-1，1]上是增函数．
∴g（x）max=g（1）=1-3a
综上分析，g（x）max=
3a-1，(a≥1)
2a
a
，(class="stub"1
4
≤a＜1)
1-3a，(a＜class="stub"1
4
)

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