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已知函数f(x)=12x2-12与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，设F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．（1）求a的值（2）求F（x）在区间[1，e]上的最小值．-数学

题目简介

已知函数f(x)=12x2-12与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，设F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．（1）求a的值（2）求F（x）在区间[1，e]上的最小值．-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
2
x2-
1
2
与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，设F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在区间[1，e]上的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f（1）=class="stub"1
2
×12-class="stub"1
2
=0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函数f（x），g（x）的图象上
又f′(x)=x，g′(x)=class="stub"a
x
，所以f'（1）=1，g'（1）=a
所以a=1
（2）因为F（x）=f（x）-mg（x），所以，F(x)=class="stub"1
2
x2-class="stub"1
2
-mlnx，其定义域为{x|x＞0}F′(x)=x-class="stub"m
x
=
x2-m
x

当m＜0时，F′(x)=x-class="stub"m
x
=
x2-m
x
＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增
所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=class="stub"1
2
×12-class="stub"1
2
-m•ln1=0．
当m＞0时，令F′(x)=x-class="stub"m
x
=
x2-m
x
=0，得到x1=
m
＞0，x2=-
m
＜0（舍）
当
m
≤1时，即0＜m≤1时，F'（x）＞0对（1，e）恒成立，
所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=0
当
m
≥e时，即m≥e2时，F'（x）＜0对（1，e）成立，
所以F（x）在[1，e]上单调递减，
其最小值为F(e)=class="stub"1
2
e2-class="stub"1
2
-m
当1＜
m
＜e，即1＜m＜e2时，F'（x）＜0对(1，
m
)成立，F'（x）＞0对(
m
，e)成立
所以F（x）在(1，
m
)单调递减，在(
m
，e)上单调递增
其最小值为F(
m
)=class="stub"1
2
m-class="stub"1
2
-mln
m
=class="stub"1
2
m-class="stub"1
2
-class="stub"m
2
lnm．
综上，当m≤1时，F（x）在[1，e]上的最小值为F（1）=0．
当1＜m＜e2时，F（x）在[1，e]上的最小值为F(
m
)=class="stub"1
2
m-class="stub"1
2
-class="stub"m
2
lnm．
当m≥e2时，F（x）在[1，e]上的最小值为F(e)=class="stub"1
2
e2-class="stub"1
2
-m．

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