若两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,其中a,b∈R,ab≠0,则4a2+1b2的最小值为______.-数学

题目简介

若两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,其中a,b∈R,ab≠0,则4a2+1b2的最小值为______.-数学

题目详情

若两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,其中a,b∈R,ab≠0,则
4
a2
+
1
b2
的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为 (x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1,
圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为2和1,故有
a2+4b2
=3,∴a2+4b2=9,
class="stub"4
a2
+class="stub"1
b2
=class="stub"1
9
(a2+4b2)(class="stub"4
a2
+class="stub"1
b2
)=class="stub"1
9
(8+
16b2
a2
+
a2
b2
)≥class="stub"1
9
(8+8)=class="stub"16
9

当且仅当
16b2
a2
=
a2
b2
时,等号成立,
class="stub"4
a2
+class="stub"1
b2
的最小值为class="stub"16
9

故答案为:class="stub"16
9

更多内容推荐