首页 > 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量m=（2a+c，b），n=（cosB，cosC），且m，n垂直．（I）确定角B的大小；（II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量m=（2a+c，b），n=（cosB，cosC），且m，n垂直．（I）确定角B的大小；（II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设

题目简介

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量m=（2a+c，b），n=（cosB，cosC），且m，n垂直．（I）确定角B的大小；（II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设

题目详情

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量
m
=（2a+c，b），
n
=（cosB，cosC），且
m
，
n
垂直．
（ I）确定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（ I）∵
m
⊥
n
，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
在△ABC中，由正弦定理得：class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=k≠0，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得
k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosB=-class="stub"1
2
，解得B=class="stub"2π
3
．
（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，S△ABC=class="stub"1
2
xysinclass="stub"2π
3
=
3
4
xy，S△ABD=class="stub"1
2
yisnclass="stub"π
3
=
3
4
y，S△BCD=class="stub"1
2
xsinclass="stub"π
3
=
3
4
x，
∴xy=x+y，
∴y=class="stub"x
x-1
，x∈(1，+∞)．
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=x2+y2-2xycosclass="stub"2π
3
=x2+y2+xy=（x+y）2-xy=（x+y）2-（x+y）=(x+y-class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
．
∵x+y=xy≤
(x+y)2
4
，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，
∴AC2≥(4-class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
，∴AC≥2
3
．
∴AC的取值范围是：AC∈[2
3
，+∞)．

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