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在算式“1×□+4×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为______．-数学

题目简介

在算式“1×□+4×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为______．-数学

题目详情

在算式“1×□+4×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

设1×m+4n=30，m、n∈N+，则m=30-4n，其中1≤n≤7．
所以y=class="stub"1
m
+class="stub"1
n
=class="stub"1
30-4n
+class="stub"1
n
=
3(10-n)
n(30-4n)
，
则class="stub"1
y
=
n(30-4n)
3(10-n)
=
40n-4n2-10n
3(10-n)
=
4n(10-n)-10n
3(10-n)
=class="stub"4n
3
-class="stub"10n
3(10-n)
=class="stub"4n
3
+
10(10-n)-100
3(10-n)

=class="stub"4n
3
-class="stub"100
3(10-n)
+class="stub"10
3
=
-4(10-n)+40
3
-class="stub"100
3 (10-n)
+class="stub"10
3
=-class="stub"4
3
[（10-n）+class="stub"25
10-n
]+class="stub"50
3
≤-class="stub"4
3
×2×
25
+class="stub"50
3
=class="stub"10
3
．
当10-n=class="stub"25
10-n
时取等号，即class="stub"1
y
取得最大值，y取得最小值．
解得n=5，则m=10．所以m+n=15．
故答案为15．

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