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周长为2的直角三角形的面积的最大值为______．-数学

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周长为2的直角三角形的面积的最大值为______．-数学

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周长为2的直角三角形的面积的最大值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S=class="stub"1
2
ab．
由已知，得a+b+c=2，∴a+b+
a2+b2
=2，
∴2=a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
=（2+
2
）
ab
，
∴
ab
≤class="stub"2
2+
2
=2-
2
，∴ab≤（2-
2
）2=6-4
2
，
∴S=class="stub"1
2
ab≤3-2
2
，当且仅当a=b=2-
2
时，S取最大值3-2
2
．
故答案为：3-2
2
．

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