已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx-1(x∈R),(1)求函数f(x)的周期;(2)求函数f(x)单调增区间;(3)求函数f(x)在x∈[0,π2]的值域.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx-1(x∈R),(1)求函数f(x)的周期;(2)求函数f(x)单调增区间;(3)求函数f(x)在x∈[0,π2]的值域.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx-1(x∈R)

(1)求函数f(x)的周期;
(2)求函数f(x)单调增区间;
(3)求函数f(x)在x∈[0,
π
2
]的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx-1(x∈R)
=cos2x+
3
sin2x=2(class="stub"1
2
cos2x+
3
2
sin2x)=2sin(class="stub"π
6
+2x),∴周期T=class="stub"2π
ω
=class="stub"2π
2
=π.
(2)由 2kπ-class="stub"π
2
class="stub"π
6
+2x≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈z,可得  kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6

故函数f(x)单调增区间为[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
].
(3)∵0≤x≤class="stub"π
2
,∴class="stub"π
6
class="stub"π
6
+2x≤class="stub"7π
6
,∴-class="stub"1
2
≤sin( class="stub"π
6
+2x)≤1,
∴-1≤2sin( class="stub"π
6
+2x)≤2,故 函数f(x)在x∈[0,class="stub"π
2
]的值域为[-1,2].

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