已知函数f(x)=2sin2ωx+23sinωxsin(π2-ωx)(ω>0)的最小正周期为π.(I)求ω的值;(II)求函数f(x)在区间[0,2π3]上的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin2ωx+23sinωxsin(π2-ωx)(ω>0)的最小正周期为π.(I)求ω的值;(II)求函数f(x)在区间[0,2π3]上的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin2ωx+2
3
sinωxsin(
π
2
-ωx)
(ω>0)的最小正周期为π.
(I)求ω的值;
(II)求函数f(x)在区间[0,
3
]
上的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)f(x)=1-cos2ωx+2
3
sinωxcosωx
=1-cos2ωx+
3
sin2ωx (2分)
=
3
sin2ωx-cos2ωx+1=2sin(2ωx-class="stub"π
6
)+1 (5分)
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0
class="stub"2π
,解得ω=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=2sin(2ωx-class="stub"π
6
)+1,
0≤x≤class="stub"2π
3

-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
≤class="stub"7π
6

-class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
6
)≤1

∴0≤2sin(2ωx-class="stub"π
6
)+1≤3,
即f(x)的取值范围为[0,3].

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