已知函数f(x)=2cos2x+23sinx-cosx+a-1且a为常数.(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期及单调增区间;(2)当x∈[0,π2]时,f(x)的最小值为4,求a的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2cos2x+23sinx-cosx+a-1且a为常数.(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期及单调增区间;(2)当x∈[0,π2]时,f(x)的最小值为4,求a的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2cos2x+2
3
sinx-cosx+a-1且a为常数.
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期及单调增区间;
(2)当x∈[0,
π
2
]时,f(x)的最小值为4,求a的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

函数f(x)=1+2cos2x+
3
sin2x+a-1=2sin(2x+class="stub"π
6
)+a.
(1)∴f(x)的最小正周期为 T=class="stub"2π
ω
=π,由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
,k∈z,可得
kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
,∴递增区间为[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
],k∈z.
(2)当x∈[0,class="stub"π
2
]时,class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
class="stub"7π
6

∴当 2x+class="stub"π
6
=class="stub"7π
6
 时,f(x)的最小值为:2×(-class="stub"1
2
)+a=4,故 a=5.

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