首页 > 已知函数f(x)=2cos2(x-π6)-3sin2x+1．（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（II）若当x∈[π4，π2]时，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．-数学

已知函数f(x)=2cos2(x-π6)-3sin2x+1．（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（II）若当x∈[π4，π2]时，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．-数学

题目简介

已知函数f(x)=2cos2(x-π6)-3sin2x+1．（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（II）若当x∈[π4，π2]时，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．-数学

题目详情

已知函数f(x)=2cos2(x-
π
6
)-
3
sin2x+1．
（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（II）若当x∈[
π
4
，
π
2
]时，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-class="stub"π
3
)-
3
sin2x+2=class="stub"1
2
cos2x-
3
2
sin2x+2=cos(2x+class="stub"π
3
)+2，
∴f（x）的最小正周期为T=class="stub"2π
2
=π，
由2kπ-π≤ 2x+class="stub"π
3
≤ 2kπ  ，k∈Z，得kπ-class="stub"2π
3
≤ x≤ kπ-class="stub"π
6
 ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-class="stub"2π
3
，kπ-class="stub"π
6
] ，k∈Z．
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2，f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，
∴m＞f（x）max -2 且m＜f（x）min +2，
又∵x∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，∴class="stub"2π
3
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"4π
3
，即1≤cos(2x+class="stub"π
3
)+2≤class="stub"3
2
，∴f(x)max=class="stub"3
2
，f(x)min=1．
∴-class="stub"1
2
＜m＜3，即m的取值范围是(-class="stub"1
2
，3)．

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