已知函数f(x)=32sin2x+12cos2x(x∈R).(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(II)求函数f(x)在区间[-π6,π6]上的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=32sin2x+12cos2x(x∈R).(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(II)求函数f(x)在区间[-π6,π6]上的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x
(x∈R).
(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(II)求函数f(x)在区间[-
π
6
π
6
]
上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x
=sin(2x+class="stub"π
6
)
(3分)
∴函数f(x)的最小正周期为T=class="stub"2π
2
=π.(4分)
2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
,得kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
(k∈Z)
(6分)
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
](k∈Z)
.(7分)
(Ⅱ)∵-class="stub"π
6
≤x≤class="stub"π
6
,∴-class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"π
2
,(8分)
-class="stub"1
2
≤sin(2x+class="stub"π
6
)≤1
.(11分)
∴函数f(x)在区间[-class="stub"π
6
,class="stub"π
6
]
上的最大值为1和最小值为-class="stub"1
2
.(12分)

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