已知函数f（x）=ax3+bx2+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．（1）用a分别表示b和c；（2）当a=l时，求f（x）的极小值；（3）求a的取值范围．-数学

题目简介

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当a=l时，求f（x）的极小值；
（3）求a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵函数f（x）=ax3+bx2+cx-3a，∴f′（x）=3ax2 +2bx+c．
由题意可得

f(-1)=2

f′(-1)=0

，即

-a+b-c-3a=2

3a-2b+c=0

，解得

b=a+1

c=2-a

．
（2）当a=l时，b=2，c=1，函数f（x）=x3 +2x2 +x-3，
令f′（x）=3x2 +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=-1 x=-class="stub"1

．
在（-∞，-1）、（-class="stub"1

，+∞）上，f′（x）＜0，在（-1，-class="stub"1

）上f′（x）＞0，
故当 x=-class="stub"1

时，函数f（x）有极小值为f（-class="stub"1

）=-class="stub"82

．
（3）由（1）得f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a=3a（x+1）（x-class="stub"a-2

3-a

），
令f′（x）=0解得x1=-1，x2=class="stub"a-2

，
∴要使f（x）极大值为f（-1）=2，
则

a＞0

class="stub"a-2

＞-1

，或

a＜0

class="stub"a-2

＜-1

．
解得 a＞class="stub"1

．