设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数).(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.-数学

题目简介

设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数).(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.-数学

题目详情

设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数).
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; 
(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:卢湾区一模

答案

(1)由已知f(-x)=f(x),即|2x-a|=|2x+a|,解得a=0
(2)f(x)=
x2+2x-a,x≥class="stub"1
2
a
x2-2x+a,x<class="stub"1
2
a

x≥class="stub"1
2
a
时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1)
a>2,x≥class="stub"1
2
a
,得x>1,从而x>-1
故f(x)在x≥class="stub"1
2
a
时单调递增,f(x)的最小值为f(class="stub"a
2
)=
a2
4

x<class="stub"1
2
a
时,f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1)
故当1<x<class="stub"a
2
时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减
则f(x)的最小值为f(1)=a-1
a2
4
-(a-1)=
(a-2)2
4
>0
,知f(x)的最小值为a-1.

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