函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为()A.n(n

题目简介

函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为()A.n(n

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函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点,则实数a的值为(  )
A.n(n∈Z)B.2n(n∈Z)
C.2n或2n-
1
4
(n∈Z)
D.n或n-
1
4
(n∈Z)
题型:单选题难度:偏易来源:朝阳区一模

答案

因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],于是f(x)=(-x)2=x2.
设x∈[1,2],则(x-2)∈[-1,0].于是,f(x)=f(x-2)=(x-2)2.
①当a=0时,联立
y=x
y=x2
,解之得
x=0
y=0
x=1
y=1
,即当a=0时,即直线y=x+a与函数y=f(x)的图象有两个不同的公共点.
②当-2<a<0时,只有当直线y=x+a与函数f(x)=x2在区间[0,1)上相切,且与函数f(x)=(x-2)2 在x∈[1,2)上仅有一个交点时才满足条件.由f′(x)=2x=1,解得x=class="stub"1
2

∴y=(class="stub"1
2
)2
=class="stub"1
4
,故其切点为(class="stub"1
2
,class="stub"1
4
)

a=class="stub"1
4
-class="stub"1
2
=-class="stub"1
4

y=x-class="stub"1
4
y=(x-2)2
(1≤x<2)解之得
x=
5-2
2
2
y=
9-4
2
4

综上①②可知:直线y=x+a与函数y=f(x)在区间[0,2)上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或-class="stub"1
4

又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),实数a的值为2n或2n-class="stub"1
4
,(n∈Z).
故应选C.

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