设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a,b,c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立,则bcosca的值为()A.-1B.12C.1D.-12-数学

题目简介

设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a,b,c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立,则bcosca的值为()A.-1B.12C.1D.-12-数学

题目详情

设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a,b,c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立,则
bcosc
a
的值为(  )
A.-1B.
1
2
C.1D.-
1
2
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

由题设可得f(x)=
13
sin(x+θ)+1,f(x-c)=
13
sin(x+θ-c)+1,其中cosθ=class="stub"3
13
,sinθ=class="stub"2
13
(0<θ<class="stub"π
2
),
∴af(x)+bf(x-c)=1可化成
13
asin(x+θ)+
13
bsin(x+θ-c)+a+b=1,
13
(a+bcosc)sin(x+θ)-
13
bsinccos(x+θ)+(a+b-1)=0,
由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有
a+bcosc=0①
bsinc=0②
a+b-1=0③

若b=0,则式(1)与式(3)矛盾;
故此b≠0,由(2)式得到:sinc=0,
当cosc=1时,有矛盾,故cosc=-1,
由①③知a=b=class="stub"1
2

class="stub"bcosc
a
=-1.
故选A

更多内容推荐