已知函数f(x)=1x+1(1)证明:f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减;(2)若f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=1x+1(1)证明:f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减;(2)若f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
x+1

(1)证明:f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减;
(2)若f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:设-1<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=class="stub"1
x1+1
-class="stub"1
x2+1
=
x2-x1
(x1+1)(x2+1)

因为-1<x10,x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=class="stub"1
x+1
在(-1,+∞)上单调递减.
(2)f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,等价于x∈[0,+∞)时f(x)max≤a,
由(1)知,f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,
所以有a≥1,即a的取值范围为[1,+∞).

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