已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,则正数a的范围______.-数学

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已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,则正数a的范围______.-数学

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已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,则正数a的范围______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵f(x)=x2(ax-3)=ax3-3x2,∴f'(x)=3ax2-6x,
∴g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a-3)x2-6x
∴g'(x)=f'(x)=3ax2+6(a-1)x-6,
令g'(x)=0,方程的另个根为x1,2=
1-a±
a2+1
a
,因为a是正数,所以x1x2=class="stub"-6
3a
=-class="stub"2
a
<0,
1-a-
a2+1
a
<0,
1-a+
a2+1
a
>0
又g(0)=0,g(2)=20a-24,
当0<
1-a+
a2+1
a
≤2时,a≥class="stub"3
4
,由于g(x)在区间[0,2]先减后增,
当g(0)=0≥g(2)=20a-24时,a≤class="stub"6
5

class="stub"3
4
≤a≤class="stub"6
5

1-a+
a2+1
a
>2即a<class="stub"3
4
时,由于g(x)在区间[0,2]减,
显然有g(0)=0>g(2)=20a-24成立,解得a<class="stub"6
5

∴a<class="stub"3
4

综上所述,0<a≤class="stub"6
5

故答案为:0<a≤class="stub"6
5

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