首页 > 已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设F(x)=-k4f(x)+4(k+1)

已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设F(x)=-k4f(x)+4(k+1)

题目简介

已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设F(x)=-k4f(x)+4(k+1)

题目详情

已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-a3，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设F(x)=-
k
4
f(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，则当k 取何值时，函数F（x）的值恒为负数？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意，∵f（x）=ax2+a2x+2b-a3
又x∈（-2，6），f（x）＞0；x∈（-∞，-2）∪（6，+∞），f（x）＜0．
∴-2和6是方程ax2+a2x+2b-a3=0的两根．
故
-2+6=-a
-2×6=
2b-a3
a
解得 
a=-4
b=-8

此时，f（x）=-4x2+16x+48
（Ⅱ）∵F(x)=-class="stub"k
4
(-4x2+16x+48)+4(k+1)+2(6k-1)=kx2+4x-2
∴欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx2+4x-2＜0恒成立，则须要满足：
①当k=0时，原不等式化为4x-2＜0，显然不合题意，舍去．
②当k≠0时，要使二次不等式的解集为x∈R，则必须满足：
k＜0
△=42-4k×(-2)＜0
，解得k＜-2
综合①②得k的取值范围为（-∞，-2）．

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