设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(23,0),如图所示,(1)求f(x)的解析式;(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2

题目简介

设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(23,0),如图所示,(1)求f(x)的解析式;(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2

题目详情

设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(
2
3
,0)
,如图所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:中山市模拟

答案

(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(class="stub"2
3
,0)

-2+class="stub"2
3
=-class="stub"2b
3a
-2×class="stub"2
3
=class="stub"c
3a
b=2a
c=-4a

∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,class="stub"2
3
)
上单调递增,在(class="stub"2
3
,+∞)
上单调递减,
由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,2)上单调递减,在(-2,class="stub"2
3
)
上单调递增,在(class="stub"2
3
,3]
上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.

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