首页 > 设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点(-2，0)，(23，0)，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2

设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点(-2，0)，(23，0)，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2

题目简介

设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点(-2，0)，(23，0)，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2

题目详情

设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点(-2，0)，(
2
3
，0)，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：中山市模拟

答案

（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(class="stub"2
3
，0)，
∴
-2+class="stub"2
3
=-class="stub"2b
3a
-2×class="stub"2
3
=class="stub"c
3a
⇒
b=2a
c=-4a

∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在(-2，class="stub"2
3
)上单调递增，在(class="stub"2
3
，+∞)上单调递减，
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在(-2，class="stub"2
3
)上单调递增，在(class="stub"2
3
，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

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