已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,12)上的单调性并说明理由;(Ⅲ)试

题目简介

已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,12)上的单调性并说明理由;(Ⅲ)试

题目详情

已知:函数f(x)=ax+
b
x
+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4

(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,
1
2
)上的单调性并说明理由;
(Ⅲ)试求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵函数f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
即-ax-class="stub"b
x
+c+ax+class="stub"b
x
+c=0∴c=0
由f(1)=class="stub"5
2
,f(2)=class="stub"17
4
,得a+b=class="stub"5
2
,2a+class="stub"b
2
=class="stub"17
4
解得a=2,b=class="stub"1
2

∴a=2,b=class="stub"1
2
,c=0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+class="stub"1
2x
,∴f′(x)=2-class="stub"1
2x2

当x∈(0,class="stub"1
2
)时,0<2x2<class="stub"1
2
class="stub"1
2x2
>2
∴f′(x)<0,即函数f(x)在区间(0,class="stub"1
2
)上为减函数.
(Ⅲ)由f′(x)=2-class="stub"1
2x2
=0,x>0得x=class="stub"1
2

∵当x>class="stub"1
2
class="stub"1
2x2
<2,
∴f′(x)>0,
即函数f(x)在区间(class="stub"1
2
,+∞)上为增函数.在(0,class="stub"1
2
)上为减函数.
所以f(x)的最小值=f(class="stub"1
2
)=2.

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