设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值.-数学

题目简介

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值.-数学

题目详情

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=-axn(x-1)+b=axn-axn+1+b,
∴f'(x)=naxn-1-(n+1)axn,
由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y=1,
可得f'(1)=-1,f(1)=0,
∴a=1,b=0.
(2)由(1)可知f(x)=xn-xn+1,
故f′(x)=-(n+1)xn(x-class="stub"n
n+1
),令f'(x)=0,得x=class="stub"n
n+1

当x∈(0,class="stub"n
n+1
),f′(x)>0,当x∈(class="stub"n
n+1
,+∞),f′(x)<0,
故函数f(x)在(0,class="stub"n
n+1
)上单调递增;在(class="stub"n
n+1
,+∞)上单调递减,
∴f(x)在(0,+∞)上最大值为f(class="stub"n
n+1
)=(class="stub"n
n+1
)n(1-class="stub"n
n+1
)=
nn
(n+1)n+1

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