已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞),(1)若a=12,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞),(1)若a=12,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,+∞),
(1)若a=
1
2
,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:上海

答案

(1)因为f(x)=x+class="stub"1
2x
+2
,f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=class="stub"7
2
.…(6分)
(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0,在[1,+∞)上恒成立.
即a>-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立.
 令g(x)=-(x+1)2+1,则g(x)在[1,+∞)上递减,当x=1时,g(x)max=-3,所以a>-3,
即实数a的取值范围是(-3,+∞).…(6分)

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