已知函数f(x)=x+ax2,其中a∈R.(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x+ax2,其中a∈R.(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x+
a
x2
,其中a∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)因为f(x)=x+class="stub"a
x2
是奇函数. 所以f(-x)=-f(x),其中x∈R且x≠0.…(2分)
-x+class="stub"a
x2
=-x-class="stub"a
x2
,其中x∈R且x≠0.
所以a=0.…(6分)
(Ⅱ)f′(x)=1-class="stub"2a
x3
.…(8分)
因为f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,
所以 f′(x)=1-class="stub"2a
x3
≥0
在[2,+∞)上恒成立,…(9分)
a≤class="stub"1
2
x3
在[2,+∞)上恒成立,
因为y=class="stub"1
2
x3
在[2,+∞)上的最小值ymin=4,
所以 a≤4,验证知当a≤4时,f(x)在区间[2,+∞)上单调递增.…(13分)

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