已知定义在R上的函数f(x)同时满足:①f(0)=f(π4)=1;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).则(1)f(π2+x)+f(x)=______;(2)

题目简介

已知定义在R上的函数f(x)同时满足:①f(0)=f(π4)=1;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).则(1)f(π2+x)+f(x)=______;(2)

题目详情

已知定义在R上的函数f(x)同时满足:
f(0)=f(
π
4
)=1
;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).
则(1)f(
π
2
+x)+f(x)
=______;
(2)函数f(x)的最大值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意得:f(class="stub"π
2
+x)+f(x)=f[(class="stub"π
4
+x)+class="stub"π
4
]+f[(class="stub"π
4
+x)-class="stub"π
4
]=2f(class="stub"π
4
+x)cosclass="stub"π
2
+8sin2class="stub"π
4
=8×(
2
2
)2=4;
(2)令m=class="stub"π
4
,n=class="stub"π
4
+x,
根据题意得:f(class="stub"π
4
+class="stub"π
4
+x)+f(class="stub"π
4
-class="stub"π
4
-x)=f(class="stub"π
2
+x)+f(-x)
=2f(class="stub"π
4
)cos(class="stub"π
2
+2x)+8sin2(class="stub"π
4
+x)=4-2sin2x(i),
又由(1)得f(class="stub"π
2
+x)+f(x)=4(ii),
∴(ii)-(i)得:f(x)-f(-x)=4-(4-2sin2x)=2sin2x③,
令m=0,n=x,
根据题意得:f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)=2cos2x+8sin2x=2cos2x+8×class="stub"1-cos2x
2
=4-2cos2x④,
(③+④)÷2得:f(x)=2-(sin2x+cos2x)=2-
2
sin(2x+class="stub"π
4
),
∵sin(2x+class="stub"π
4
)∈[-1,1],
∴f(x)的最大值为2+
2

故答案为:(1)4;(2)2+
2

更多内容推荐