已知a≠0,函数f(x)=13a2x3-ax2+23,g(x)=-ax+1,x∈R.(I)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若在区间(0,12]上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,

题目简介

已知a≠0,函数f(x)=13a2x3-ax2+23,g(x)=-ax+1,x∈R.(I)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若在区间(0,12]上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,

题目详情

已知a≠0,函数f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
,g(x)=-ax+1,x∈R.
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若在区间(0,
1
2
]
上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,试求正实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:蓝山县模拟

答案

(I)由f(x)=class="stub"1
3
a2x3-ax2+class="stub"2
3
求导得,f'(x)=a2x2-2ax.
①当a>0时,由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-class="stub"2
a
)<0
,解得0<x<class="stub"2
a

所以f(x)=class="stub"1
3
a2x3-ax2+class="stub"2
3
(0,class="stub"2
a
)
上递减.
②当a<0时,由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-class="stub"2
a
)<0
可得class="stub"2
a
<x<0

所以f(x)=class="stub"1
3
a2x3-ax2+class="stub"2
3
(class="stub"2
a
,0)
上递减.
综上:当a>0时,f(x)单调递减区间为(0,class="stub"2
a
)

当a<0时,f(x)单调递减区间为(class="stub"2
a
,0)

(Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=class="stub"1
3
a2x3-ax2+ax-class="stub"1
3
x∈(0,class="stub"1
2
]

对F(x)求导,得F'(x)=a2x2-2ax+a=a2x2+a(1-2x),
因为x∈(0,class="stub"1
2
]
,a>0,所以F'(x)=a2x2+a(1-2x)>0,F(x)在区间(0,class="stub"1
2
]
上为增函数,则F(x)max=F(class="stub"1
2
)

依题意,只需F(x)max>0,即class="stub"1
3
a2×class="stub"1
8
-a×class="stub"1
4
+a×class="stub"1
2
-class="stub"1
3
>0

即a2+6a-8>0,解得a>-3+
17
a<-3-
17
(舍去).
所以正实数a的取值范围是(-3+
17
,+∞)

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