已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f

题目简介

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（

x-1

）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x1-x2）．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

-1≤x+1≤1

-1≤class="stub"1

x-1

≤1

x+1＜class="stub"1

x-1

，解得-2≤x＜-

，
故不等式的解集为{x|-2≤x＜-

}．