已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若任意的a、b∈[-1,1],且a+b≠0,都有f(a)+f(b)a+b>0.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解不等式:f

题目简介

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若任意的a、b∈[-1,1],且a+b≠0,都有f(a)+f(b)a+b>0.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解不等式:f

题目详情

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若任意的a、b∈[-1,1],且a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:f(x+1)<f(
1
x-1
).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)任取x1、x2∈[-1,1],且x1<x2,则-x2∈[-1,1].又f(x)是奇函数,于是
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
=
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
•(x1-x2).
据已知
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[-1,1]上是增函数.
(2)由f(x)在[-1,1]上是增函数知:
-1≤x+1≤1
-1≤class="stub"1
x-1
≤1
x+1<class="stub"1
x-1
,解得-2≤x<-
2

故不等式的解集为{x|-2≤x<-
2
}.

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