定义在实数集上的函数f(x)满足下列条件:①f(x)是偶函数;②对任意非负实数x、y,都有f(x+y)=2f(x)f(y);③当x>0时,恒有f(x)>12.(1)求f(0)的值;(2)证明:f(x)

题目简介

定义在实数集上的函数f(x)满足下列条件:①f(x)是偶函数;②对任意非负实数x、y,都有f(x+y)=2f(x)f(y);③当x>0时,恒有f(x)>12.(1)求f(0)的值;(2)证明:f(x)

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定义在实数集上的函数f(x)满足下列条件:
①f(x)是偶函数;②对任意非负实数x、y,都有f(x+y)=2f(x)f(y);③当x>0时,恒有f(x)>
1
2

(1)求f(0)的值;
(2)证明:f(x)在[0,+∞)上是单调增函数;
(3)若f(3)=2,解关于a的不等式f(a2-2a-9)≤8.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令x=0,y=1,
则f(1)=2f(0)•f(1),
f(1)>class="stub"1
2

f(0)=class="stub"1
2
.…(4分)
(2)∵当x>0时,恒有f(x)>class="stub"1
2
,又f(x)是偶函数,
∴当x<0时,f(x)=f(-x)>class="stub"1
2

f(0)=class="stub"1
2
,f(x)>0恒成立.…(6分)
设0≤x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>class="stub"1
2

∴f(x2)=2f(x1)f(x2-x1)>f(x1),…(9分)
∴f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.…(10分)
(3)令x=y=3,则f(6)=2f2(3)=8,…(12分)
∴f(a2-2a-9)=f(|a2-2a-9|)≤f(6),
由f(x)在[0,+∞)上是单调增函数,
得|a2-2a-9|≤6,…(14分)
a2-2a-9≥-6
a2-2a-9≤6

解得
a≤-1或a≥3
-3≤a≤5

∴-3≤a≤-1或3≤a≤5.…16 分

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