已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞

题目简介

已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞

题目详情

已知函数 f(x)=
1
2
x2-2alnx+(a-2)x
,a∈R.
(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;
(Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f(x) 的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>a
,恒成立,若存在求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:孝感模拟

答案

(Ⅰ)由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞),…(1分)
当a=1 时,f′(x)=
x2-x-2
x
=
(x-2)(x+1)
x
…(2分)
∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f'(x)>0.
∴f(x)在x=2时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2…(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=x-class="stub"2a
x
+(a-2)=
x2+(a-2)x-2a
x
=
(x-2)(x+a)
x
,…(5分)
∴(1)当-2<a≤0时,若x∈(0,-a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(-a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(2)当a=-2时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数;
(3)当a<-2时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(2,-a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数…(9分)
(Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>a
恒成立,
不妨设0<x1<x2,只要
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>a
,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1
令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数
又函数g(x)=class="stub"1
2
x2-2alnx-2x

考查函数g′(x)=x-class="stub"2a
x
-2=
x2-2x-2a
x
=
(x-1)2-1-2a
x
…(10分)
要使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a≤-class="stub"1
2
,…(12分)
故存在实数a∈(-∞,-class="stub"1
2
]
时,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>a
恒成立,…(14分)

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